Eisenbichler urodził się 3 kwietnia 1991 roku w Siegsdorf. Reprezentuje klub TSV Siegsdorf. W Pucharze Świata zadebiutował w 2011 roku w Oberstdorfie.
Pierwsze pucharowe punkty Markus zdobył już podczas debiutu – zajął 30. miejsce. Do jego największych osiągnięć należy wywalczenie brązowego medalu indywidualnie na Mistrzostwach Świata na skoczni normalnej w Lahti 2017. Ponadto na tych samych Mistrzostwach zdobył złoto w konkursie drużyn mieszanych. W 2016 roku wygrał Letni Puchar Kontynentalny, a w sezonie 2012/2013 stanął na drugim stopniu podium klasyfikacji generalnej Fis Cup.
W swojej karierze trzykrotnie stawał na podium zawodów Pucharu Świata – trzy razy na 3. miejscu.
Jego rekord życiowy wynosi 248 m. Został on ustanowiony w Planicy w 2017 roku.
- Autor biografii: Mateusz Marciniak